Воспитанник футбольного клуба «Ростов» Дмитрий Вебер перешел в московский «Велес», выступающий в ПФЛ. 21-летний полузащитник сменил клуб на правах свободного агента. Ранее у него истек срок действия контракта с «Ростовом».
За 3 года, проведенных в ростовском клубе, Вебер вышел на поле лишь в одном матче Российской Премьер-Лиги. Это произошло 9 сентября 2016 года, когда Дмитрий дебютировал в элите российского футбола в матче против «Крыльев Советов», выйдя на замену на 81-й минуте вместо Андрея Препелицэ.
Основную часть карьеры Дмитрий Вебер провел, выступая за молодежный состав «желто-синих».